ગણિત અને અંકગણિત — ફાસ્ટ-ટ્રેક ફોર્મ્યુલા હેન્ડબુકQuantitative Aptitude Rapid Formula Sheet
ટકાવારી, નફો-ખોટ, સાદું અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ, ઝડપ-સમય-અંતર, કામ અને મહેનતાણું ના શોર્ટકટ નિયમો.Shortcuts and formulas for Percentages, Profit & Loss, Simple & Compound Interest, Time & Work, Speed Distance.
📐 ગણિત અને અંકગણિત — ફાસ્ટ-ટ્રેક ફોર્મ્યુલા હેન્ડબુક
GPSC વર્ગ ૧-૨, CCE પ્રિલિમ્સ અને મુખ્ય પરીક્ષા (ગ્રુપ B), ફોરેસ્ટ ગાર્ડ અને સચિવાલય ક્લાર્કની પરીક્ષાઓ માટે જરૂરી તમામ શોર્ટકટ્સ, ટકાવારી ચાર્ટ અને ગણતરીની ઝડપી પદ્ધતિઓ.
📊 ટકાવારી અને અપૂર્ણાંક રૂપાંતરણ ચાર્ટ (Percentage & Fractions)
- અપૂર્ણાંકમાંથી ટકાવારી ઝડપી મૂલ્યો: 1/2 = 50% | 1/3 = 33.33% | 1/4 = 25% | 1/5 = 20% | 1/6 = 16.67% | 1/7 = 14.28% | 1/8 = 12.5% | 1/9 = 11.11% | 1/11 = 9.09% | 1/12 = 8.33%.
- ક્રમિક ટકાવારી ફેરફાર (Successive Percentage): જો કોઈ રાશિમાં ક્રમશઃ $x%$ અને $y%$ નો ફેરફાર થાય: $$\text{કુલ ટકાવારી ફેરફાર} = \left(x + y + \frac{xy}{100}\right)\%$$ (વધારો/નફો હોય તો ધન (+) અને ઘટાડો/ખોટ/વળતર હોય તો ઋણ (-) ચિહ્ન લેવું).
- ખર્ચ અચળ રાખવાનો વ્યસ્ત નિયમ: જો કોઈ વસ્તુના ભાવમાં $R%$ નો વધારો થાય, તો ખર્ચ ન વધે તે માટે વપરાશમાં ઘટાડો: $$\text{વપરાશમાં ઘટાડો} = \left(\frac{R}{100 + R}\right) \times 100\%$$
💰 નફો-ખોટ અને વળતર (Profit, Loss & Discount)
| સંકલ્પના | સૂત્ર (Formula) | ઝડપી શોર્ટકટ ટ્રીક |
|---|---|---|
| વેચાણ કિંમત (SP) | $SP = CP \times \frac{100 + P\%}{100}$ (અથવા $- L\%$) | ગુણક પદ્ધતિ: ૨૫% નફો હોય તો $CP \times 1.25$ |
| વળતર / ડિસ્કાઉન્ટ % | $\text{વળતર} = MP - SP$ | $\% = \frac{\text{વળતર}}{MP} \times 100$ | વળતરની ગણતરી હંમેશા છાપેલી કિંમત (MP) પર જ થાય છે. |
| છાપેલી કિંમત અને મૂળ કિંમત સંબંધ | $\frac{MP}{CP} = \frac{100 + P\%}{100 - D\%}$ | ઇચ્છિત નફો મેળવવા મૂળ કિંમત પર કેટલો વધારો છાપવો તે સીધું ગણાય. |
| બે સમાન વેચાણ કિંમતના કેસ | બે વસ્તુઓ સમાન SP એ વેચતાં એક પર $x\%$ નફો અને બીજી પર $x\%$ ખોટ જાય | હંમેશા ચોખ્ખી ખોટ જ જાય: $\text{ખોટ}\% = \frac{x^2}{100}\%$ |
🏦 સાદું વ્યાજ (SI) અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ (CI)
- સાદું વ્યાજ: $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ | વ્યાજમુદ્દલ $A = P + SI$
- ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ (વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ): $A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T$ | $CI = A - P$
- ૨ વર્ષ માટે CI અને SI નો તફાવત: $$CI - SI = P \left(\frac{R}{100}\right)^2$$
- ૩ વર્ષ માટે CI અને SI નો તફાવત: $$CI - SI = P \left(\frac{R}{100}\right)^2 \times \left(\frac{300 + R}{100}\right)$$
- ૭૨ નો નિયમ (Rule of 72): નાણાં $R\%$ ના વ્યાજદરે આશરે $\frac{72}{R}$ વર્ષમાં બમણા (ડબલ) થાય છે.
⏱️ ઝડપ, સમય અને અંતર (Speed, Time & Distance)
- એકમ રૂપાંતરણ: $1 \text{ કિમી/કલાક} = \frac{5}{18} \text{ મી/સેકન્ડ}$ | $1 \text{ મી/સેકન્ડ} = \frac{18}{5} \text{ કિમી/કલાક}$.
- સરેરાશ ઝડપ (સમાન અંતર માટે $u$ અને $v$ ઝડપે): $$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{2uv}{u + v}$$
- સાપેક્ષ ઝડપ (Relative Speed):
- સામસામે વિરુદ્ધ દિશામાં આવતાં: $\text{ઝડપ} = u + v$ (સરવાળો)
- એક જ સમાન દિશામાં જતાં: $\text{ઝડપ} = |u - v|$ (બાદબાકી)
- ટ્રેનના પ્રશ્નો:
- ટ્રેન થાંભલા કે ઊભેલા માણસને પસાર કરે: $\text{સમય} = \frac{\text{ટ્રેનની લંબાઈ}}{\text{ઝડપ}}$
- ટ્રેન પ્લેટફોર્મ કે પુલને પસાર કરે: $\text{સમય} = \frac{\text{ટ્રેનની લંબાઈ} + \text{પ્લેટફોર્મની લંબાઈ}}{\text{ઝડપ}}$
🚢 હોડી અને પ્રવાહ (Boats & Streams)
| પરિમાણ | ગાણિતિક સૂત્ર | પરીક્ષા શોર્ટકટ |
|---|---|---|
| પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ ($u$ - Downstream) | $$u = b + s$$ (હોડી ઝડપ + પ્રવાહ ઝડપ) | પાણીના વહેણની સાથે અનુકૂળ દિશા. |
| પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ ($v$ - Upstream) | $$v = b - s$$ (હોડી ઝડપ - પ્રવાહ ઝડપ) | પાણીના વહેણની સામી પ્રતિકૂળ દિશા. |
| શાંત પાણીમાં હોડીની ઝડપ ($b$) | $$b = \frac{u + v}{2}$$ | અનુકૂળ અને પ્રતિકૂળ બંને ઝડપની સરેરાશ. |
| પાણીના પ્રવાહની ઝડપ ($s$) | $$s = \frac{u - v}{2}$$ | અનુકૂળ અને પ્રતિકૂળ ઝડપના તફાવતથી અડધી. |
💧 કામ, મહેનતાણું અને નળ-ટાંકી (Time, Work & Pipes)
- જો A કામ $x$ દિવસમાં અને B કામ $y$ દિવસમાં પૂર્ણ કરે: $$\text{બંને સાથે મળીને} = \frac{xy}{x + y} \text{ દિવસ}$$
- જો A, B અને C અનુક્રમે $x$, $y$ અને $z$ દિવસ લે: $$\text{ત્રણેય સાથે મળીને} = \frac{xyz}{xy + yz + zx} \text{ દિવસ}$$
- માણસ-દિવસ-કલાક સૂત્ર (M-D-H Rule): $$\frac{M_1 \times D_1 \times H_1}{W_1} = \frac{M_2 \times D_2 \times H_2}{W_2}$$
⚖️ મિશ્રણ અને ગુણોત્તર (Alligation & Mixtures)
- પુનરાવર્તિત મિશ્રણ સૂત્ર (Repeated Dilution): જો વાસણમાં શરૂઆતમાં $x$ એકમ શુદ્ધ પ્રવાહી હોય અને તેમાંથી $y$ એકમ કાઢી તેટલું જ પાણી ઉમેરવાની ક્રિયા $n$ વખત કરવામાં આવે: $$\text{બાકી રહેલ શુદ્ધ પ્રવાહી} = x \left(1 - \frac{y}{x}\right)^n$$
⏰ ઘડિયાળ અને કેલેન્ડર (Clocks & Calendars)
- કલાક અને મિનિટના કાંટા વચ્ચેનો ખૂણો: $$\theta = \left|30H - \frac{11}{2}M\right|$$ ઉદાહરણ: ૮:૨૦ વાગ્યે, $\theta = |30(8) - 5.5(20)| = |240 - 110| = 130^\circ$.
- કાટખૂણો ($90^\circ$): ઘડિયાળના કાંટા ૧૨ કલાકમાં ૨૨ વખત અને ૨૪ કલાકમાં ૪૪ વખત કાટખૂણો બનાવે છે.
- ભેગા થવું / એક સીધી રેખા ($0^\circ$): ૧૨ કલાકમાં ૧૧ વખત અને ૨૪ કલાકમાં ૨૨ વખત ભેગા થાય છે.
- સદીના વધારાના દિવસો (Odd Days): ૧૦૦ વર્ષ = ૫ દિવસ | ૨૦૦ વર્ષ = ૩ દિવસ | ૩૦૦ વર્ષ = ૧ દિવસ | ૪૦૦ વર્ષ = ૦ દિવસ.
⚠️ GPSC અને CCE અંકગણિત પરીક્ષા ટ્રેપ એલર્ટ:
- સમાન વેચાણ કિંમત ટ્રેપ: જ્યારે બે વસ્તુઓ એકસમાન વેચાણ કિંમતે વેચાય, જેમાં એક પર $x\%$ નફો અને બીજી પર $x\%$ ખોટ થાય, ત્યારે સમગ્ર વ્યવહારમાં હંમેશા $\frac{x^2}{100}\%$ ની ખોટ જ જાય છે (ક્યારેય 'ન નફો ન ખોટ' થતી નથી!).
- ઝડપ એકમ રૂપાંતરણ: કિમી/કલાકમાંથી મી/સેકન્ડમાં ફેરવવા માટે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણો; મી/સેકન્ડમાંથી કિમી/કલાકમાં ફેરવવા $\frac{18}{5}$ વડે ગુણો. યાદ રાખો: મોટામાંથી નાના એકમમાં જતી વખતે નાની સંખ્યા (૫) અંશમાં આવે!
- વળતરની ગણતરી: ડિસ્કાઉન્ટ હંમેશા છાપેલી કિંમત (Marked Price) પર જ ગણાય, મૂળ કિંમત પર નહીં.
- ઘડિયાળ કાંટા આચ્છાદન: ૧૨ કલાકમાં કાંટા ૧૨ વાર નહીં પણ ૧૧ વાર જ ભેગા થાય છે (૧૧ થી ૧ વચ્ચે બરાબર ૧૨ વાગ્યે એક જ વાર ભેગા થાય છે).
🎯 ડિજિટલ સમ (Digital Root) અને એકમના અંકની ઝડપી ગણતરી:
• ડિજિટલ સમ પદ્ધતિ: સંખ્યાના તમામ અંકોનો સરવાળો કરી ૧ થી ૯ વચ્ચેનો અંક મેળવો (૯ ને શૂન્ય ગણી રદ કરવો). ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુનો ડિજિટલ સમ સમાન થવો જોઈએ. મોટી ગણતરીવાળા પ્રશ્નોમાં માત્ર ૫ સેકન્ડમાં વિકલ્પો રદ કરી શકાય છે.
• એકમનો અંક સાયકલિયમ ($N^k$):
– ૧ ની સાયકલ: $0, 1, 5, 6$ થી પૂરી થતી સંખ્યાની કોઈપણ ઘાત હોય એકમનો અંક તે જ રહે.
– ૨ ની સાયકલ: $4, 9$ (એકી ઘાત: $4^1 = 4, 9^1 = 9$; બેકી ઘાત: $4^2 \to 6, 9^2 \to 1$).
– ૪ ની સાયકલ: $2, 3, 7, 8$ (ઘાતને ૪ વડે ભાગી શેષ મુજબ એકમનો અંક નક્કી કરવો).
• ડિજિટલ સમ પદ્ધતિ: સંખ્યાના તમામ અંકોનો સરવાળો કરી ૧ થી ૯ વચ્ચેનો અંક મેળવો (૯ ને શૂન્ય ગણી રદ કરવો). ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુનો ડિજિટલ સમ સમાન થવો જોઈએ. મોટી ગણતરીવાળા પ્રશ્નોમાં માત્ર ૫ સેકન્ડમાં વિકલ્પો રદ કરી શકાય છે.
• એકમનો અંક સાયકલિયમ ($N^k$):
– ૧ ની સાયકલ: $0, 1, 5, 6$ થી પૂરી થતી સંખ્યાની કોઈપણ ઘાત હોય એકમનો અંક તે જ રહે.
– ૨ ની સાયકલ: $4, 9$ (એકી ઘાત: $4^1 = 4, 9^1 = 9$; બેકી ઘાત: $4^2 \to 6, 9^2 \to 1$).
– ૪ ની સાયકલ: $2, 3, 7, 8$ (ઘાતને ૪ વડે ભાગી શેષ મુજબ એકમનો અંક નક્કી કરવો).
📚 પ્રમાણિત સંદર્ભ સાહિત્ય
- ક્વોન્ટિટેટિવ એપ્ટિટ્યુડ: ડૉ. આર.એસ. અગ્રવાલ (S. Chand).
- ફાસ્ટ ટ્રેક ઓબ્જેક્ટિવ એરિથમેટિક: રાજેશ વર્મા (Arihant).
- મેજિકલ બુક ઓન ક્વિકર મેથ્સ: એમ. ટાયરા.
📐 Quantitative Aptitude — Rapid Formula Handbook
📊 Percentage & Successive Change Shortcuts
- Fraction to Percentage Conversions: 1/2 = 50% | 1/3 = 33.33% | 1/4 = 25% | 1/5 = 20% | 1/6 = 16.67% | 1/7 = 14.28% | 1/8 = 12.5% | 1/9 = 11.11% | 1/11 = 9.09% | 1/12 = 8.33%.
- Successive Percentage Formula: Net effect of two successive changes of $x\%$ and $y\%$: $$\text{Net Change} = \left(x + y + \frac{xy}{100}\right)\%$$ (Use positive values for increase/profit and negative values for decrease/discount).
- Inverse Relation Rule: If price of a commodity increases by $R\%$, reduction in consumption to keep expenditure constant: $$\text{Reduction} = \left(\frac{R}{100 + R}\right) \times 100\%$$
💰 Profit, Loss & Marked Price
| Concept | Formula | Quick Shortcut |
|---|---|---|
| Selling Price (SP) | $SP = CP \times \frac{100 + P\%}{100}$ (or $- L\%$) | Multiplying factor method ($+25\% \implies \times 1.25$) |
| Discount % | $\text{Discount} = MP - SP$ | $\% = \frac{\text{Discount}}{MP} \times 100$ | Discount is ALWAYS computed on Marked Price (MP) |
| MP to CP Relation | $\frac{MP}{CP} = \frac{100 + P\%}{100 - D\%}$ | Instantly calculates markup needed for desired profit |
| Two Equal SP Cases | Two items sold at same SP, one at $x\%$ profit and other at $x\%$ loss | Always a Loss: $\text{Loss}\% = \frac{x^2}{100}\%$ |
🏦 Simple Interest (SI) & Compound Interest (CI)
- Simple Interest: $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$
- Compound Interest (Annual compounding): $A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T$ | $CI = A - P$
- Difference between CI and SI for 2 Years: $$CI - SI = P \left(\frac{R}{100}\right)^2$$
- Difference between CI and SI for 3 Years: $$CI - SI = P \left(\frac{R}{100}\right)^2 \times \left(\frac{300 + R}{100}\right)$$
- Rule of 72: Money doubles at $R\%$ interest in approximately $\frac{72}{R}$ years.
⏱️ Speed, Time & Distance Shortcuts
- Unit Conversion: $1 \text{ km/h} = \frac{5}{18} \text{ m/s}$ | $1 \text{ m/s} = \frac{18}{5} \text{ km/h}$.
- Average Speed (Equal Distances at speeds $u$ and $v$): $$\text{Average Speed} = \frac{2uv}{u + v}$$
- Relative Speed:
- Moving in opposite directions (approaching): $\text{Speed} = u + v$
- Moving in same direction: $\text{Speed} = |u - v|$
- Train Crossing Problems:
- Train crossing a pole/tree/man: $\text{Time} = \frac{\text{Length of Train}}{\text{Speed}}$
- Train crossing a platform/bridge/tunnel: $\text{Time} = \frac{\text{Length of Train} + \text{Length of Platform}}{\text{Speed}}$
- Boats & Streams:
- Downstream Speed $D = u + v$ | Upstream Speed $U = u - v$ ($u$: boat in still water, $v$: stream speed)
- Boat Speed in Still Water $u = \frac{D + U}{2}$ | Speed of Stream $v = \frac{D - U}{2}$
💧 Time & Work / Pipes & Cisterns
- If A completes a work in $x$ days and B in $y$ days: $$\text{Together} = \frac{xy}{x + y} \text{ days}$$
- If A, B, and C take $x$, $y$, and $z$ days: $$\text{Together} = \frac{xyz}{xy + yz + zx} \text{ days}$$
- Man-Days-Hours Formula: $$\frac{M_1 \times D_1 \times H_1}{W_1} = \frac{M_2 \times D_2 \times H_2}{W_2}$$
⚖️ Mixtures, Alligations & Repeated Dilution Shortcuts
The Alligation rule provides instant calculation for blended commodities:
$$ rac{ ext{Quantity of Cheaper}}{ ext{Quantity of Dearer}} = rac{ ext{Price of Dearer} - ext{Mean Price}}{ ext{Mean Price} - ext{Price of Cheaper}}$$
- Repeated Dilution / Replacement Formula: If a container initially holds $x$ units of pure liquid and $y$ units are withdrawn and replaced by water repeatedly for $n$ operations: $$ ext{Remaining Pure Liquid} = x left(1 - rac{y}{x} ight)^n$$
🚢 Boats, Streams & Relative Motion Formulas
| Parameter | Mathematical Formula | Exam Quick Shortcut |
|---|---|---|
| Speed Downstream ($u$) | $$u = b + s$$ (Boat speed + Stream speed) | Direction with the water flow. |
| Speed Upstream ($v$) | $$v = b - s$$ (Boat speed - Stream speed) | Direction against the water flow. |
| Speed of Boat in Still Water ($b$) | $$b = rac{u + v}{2}$$ | Average of downstream and upstream speeds. |
| Speed of Stream / Current ($s$) | $$s = rac{u - v}{2}$$ | Half the difference of downstream and upstream. |
| Average Speed (Round Trip) | $$ ext{Avg Speed} = rac{2uv}{u + v} = rac{b^2 - s^2}{b}$$ | Always less than still-water boat speed $b$. |
⏰ Clocks & Calendars Fast Techniques
- Angle between Hour and Minute Hands: $$ heta = left|30H - rac{11}{2}M ight|$$ Example: At 8:20, $ heta = |30(8) - 5.5(20)| = |240 - 110| = 130^circ$.
- Right Angles: Hands of a clock form $90^circ$ 22 times in 12 hours and 44 times in 24 hours.
- Coincide / Straight Lines: Hands coincide 11 times in 12 hours and 22 times in 24 hours.
- Calendar Century Odd Days:
- 100 Years = 5 Odd days
- 200 Years = 3 Odd days
- 300 Years = 1 Odd day
- 400 Years = 0 Odd days (Centuries like 1600, 2000, 2400 have 0 odd days).
⚠️ GPSC & CCE Quantitative Aptitude Traps:
- Equal Selling Price Trap: When two items are sold at the same selling price (SP), one at $x%$ profit and other at $x%$ loss, there is ALWAYS a net loss of $ rac{x^2}{100}%$. It is NEVER no-profit-no-loss!
- Speed Unit Conversion Trap: To convert $ ext{km/h} o ext{m/s}$, multiply by $ rac{5}{18}$. To convert $ ext{m/s} o ext{km/h}$, multiply by $ rac{18}{5}$. Memory tip: Moving from large unit (km) to small unit (m), smaller number (5) goes in numerator!
- Discount Calculation: Discount $%$ is ALWAYS computed on Marked Price (MP), never on Cost Price (CP) or Selling Price (SP).
- Clock Hand Overlaps: The hands of a clock coincide only 11 times in 12 hours (NOT 12 times!), because between 11:00 and 1:00, they coincide only once at exactly 12:00.
🎯 Digital Root (Casting Out Nines) & Unit Digit Speed Techniques:
• Digital Sum Verification: The sum of digits of a number (reducing to a single digit by treating 9 as 0) must match on LHS and RHS in addition, subtraction, and multiplication. Use this in multi-digit calculation questions to eliminate 3 incorrect MCQ choices in 5 seconds.
• Cyclicity of Unit Digits ($N^k$):
– Cyclicity of 1: Numbers ending in $0, 1, 5, 6$ always have unit digits $0, 1, 5, 6$ respectively for any positive power.
– Cyclicity of 2: $4, 9$ (Odd power: $4^1 = 4, 9^1 = 9$; Even power: $4^2 o 6, 9^2 o 1$).
– Cyclicity of 4: $2, 3, 7, 8$ (Divide power $k$ by 4, take remainder $r$; if $r=0$, use power 4).
• Digital Sum Verification: The sum of digits of a number (reducing to a single digit by treating 9 as 0) must match on LHS and RHS in addition, subtraction, and multiplication. Use this in multi-digit calculation questions to eliminate 3 incorrect MCQ choices in 5 seconds.
• Cyclicity of Unit Digits ($N^k$):
– Cyclicity of 1: Numbers ending in $0, 1, 5, 6$ always have unit digits $0, 1, 5, 6$ respectively for any positive power.
– Cyclicity of 2: $4, 9$ (Odd power: $4^1 = 4, 9^1 = 9$; Even power: $4^2 o 6, 9^2 o 1$).
– Cyclicity of 4: $2, 3, 7, 8$ (Divide power $k$ by 4, take remainder $r$; if $r=0$, use power 4).
📚 Recommended High-Yield Practice Books
- Quantitative Aptitude for Competitive Examinations: R.S. Aggarwal (S. Chand).
- Fast Track Objective Arithmetic: Rajesh Verma (Arihant).
- Magical Book on Quicker Maths: M. Tyra.
હવે પોતાની કસોટી કરોTest yourself next
દરેક પરીક્ષાનો મોક 1 ફ્રી છે, સાઇન અપ વગર, અને દરેક પ્રશ્નની ગુજરાતી અને અંગ્રેજી સમજૂતી છે.Mock 1 of every exam is free, with no sign-up, and every question has a Gujarati and English explanation.