Calculus: પ્રશ્નો અને જવાબોCalculus: questions and answers
GPSC, GSSSB, તલાટી અને ગુજરાત પોલીસ પરીક્ષા માટે 10 ફ્રી પ્રશ્નો, દરેકનો જવાબ અને ગુજરાતી + English સમજૂતી સાથે.10 free practice questions for GPSC, GSSSB, Talati and Gujarat Police exams, each with the answer and a Gujarati + English explanation.
1. જ્યારે n અનંત તરફ જાય (n → ∞), ત્યારે (1 + x/n)ⁿ ની મર્યાદા (limit) કેટલી થાય છે?The limit of (1 + x/n)ⁿ as n approaches infinity (n → ∞) equals:
- Aeˣeˣ
- B11
- Cxx
- De⁻ˣe⁻ˣ
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (A) eˣeˣ
એક્સપોનેન્શિયલ વિધેયની મૂળભૂત વ્યાખ્યા મુજબ lim_{n→∞} (1 + x/n)ⁿ = eˣ થાય છે.By definition of the exponential function, lim_{n→∞} (1 + x/n)ⁿ = eˣ.
2. જો f(x) = x³ - 3x² + 2 હોય, તો ફંક્શનનું સ્થાનિક લઘુત્તમ x = ?If f(x) = x³ - 3x² + 2, the function has a local minimum at x = ?
- A00
- B11
- C22
- D33
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (C) 22
પ્રથમ વ્યુત્પન્ન f'(x) = 3x² - 6x. સેટિંગ 0: 3x(x - 2) = 0 -> x=0, x=2. બીજું વ્યુત્પન્ન f''(x) = 6x - 6. x=0 પર, f''(0) = -6 (મહત્તમ). x=2, f''(2) = 6 (મિનિટ) પર. આમ, સ્થાનિક લઘુત્તમ x=2 છે.First derivative f'(x) = 3x² - 6x. Setting to 0: 3x(x - 2) = 0 -> x=0, x=2. Second derivative f''(x) = 6x - 6. At x=0, f''(0) = -6 (Max). At x=2, f''(2) = 6 (Min). Thus, local minimum is at x=2.
3. જો u(x, y) એ x અને y માં n ઘાતનું સમઘાતી વિધેય હોય, તો યુલરના પ્રમેય મુજબ x·(∂u/∂x) + y·(∂u/∂y) નું મૂલ્ય કેટલું થાય?If u(x, y) is a homogeneous function of degree n in x and y, then by Euler's theorem: x·(∂u/∂x) + y·(∂u/∂y) is equal to:
- An · un · u
- B(n - 1) · u(n - 1) · u
- Cu / nu / n
- D00
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (A) n · un · u
સમઘાતી વિધેયો માટેના યુલરના પ્રમેય અનુસાર x·(∂u/∂x) + y·(∂u/∂y) = n·u થાય છે.Euler's theorem for homogeneous functions states that x·(∂u/∂x) + y·(∂u/∂y) = n·u.
4. (sin 3x) / x ની મર્યાદા શું છે કારણ કે x 0 ની નજીક પહોંચે છે?What is the limit of (sin 3x) / x as x approaches 0?
- A00
- B11
- C33
- DઅનંતInfinity
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (C) 33
સ્ટાન્ડર્ડ લિમિટ પ્રોપર્ટી lim(x->0) [sin(ax) / x] = aનો ઉપયોગ કરીને, x 0 ની નજીક પહોંચે ત્યારે (sin 3x) / x ની મર્યાદા 3 છે. વૈકલ્પિક રીતે, L'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરો: 3*cos(3x)/1 -> 3*cos(0) = 3.Using the standard limit property lim(x->0) [sin(ax) / x] = a, the limit of (sin 3x) / x as x approaches 0 is 3. Alternatively, use L'Hopital's rule: 3*cos(3x)/1 -> 3*cos(0) = 3.
5. લાગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ, જો f(x) સંવૃત [a, b] પર સતત અને વિવૃત (a, b) પર વિકલનીય હોય, તો (a, b) માં એવું બિંદુ c મળે જ્યાં f'(c) બરાબર શું થાય?According to Lagrange's Mean Value Theorem, if f(x) is continuous on [a, b] and differentiable on (a, b), there exists some c in (a, b) such that f'(c) equals:
- A[f(b) - f(a)] / (b - a)[f(b) - f(a)] / (b - a)
- B0 (રોલનું પ્રમેય)0
- C[f(b) + f(a)] / 2[f(b) + f(a)] / 2
- Df(b) - f(a)f(b) - f(a)
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (A) [f(b) - f(a)] / (b - a)[f(b) - f(a)] / (b - a)
લાગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ સ્પર્શકનો ઢાળ એ છેડાઓને જોડતી જીવાના ઢાળ [f(b) - f(a)] / (b - a) બરાબર થાય છે.Lagrange's MVT states that at some point c, the instantaneous slope f'(c) equals the average chord slope [f(b) - f(a)] / (b - a).
6. 1/(s-a) નું વ્યસ્ત લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ છે:The inverse Laplace transform of 1/(s-a) is:
- Ae^(at)e^(at)
- Be^(-at)e^(-at)
- Csin(at)sin(at)
- Dcos(at)cos(at)
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (A) e^(at)e^(at)
માનક લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ કોષ્ટકો દ્વારા, L{e^(at)} = 1/(s-a). તેથી, વ્યસ્ત e^(at) છે.By standard Laplace transform tables, L{e^(at)} = 1/(s-a). Therefore, the inverse is e^(at).
7. x ના સંદર્ભમાં sin(x) નું વ્યુત્પન્ન છે:The derivative of sin(x) with respect to x is:
- A-cos(x)-cos(x)
- Bcos(x)cos(x)
- Ctan(x)tan(x)
- D-sin(x)-sin(x)
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (B) cos(x)cos(x)
x ના સંદર્ભમાં sin(x) નું વ્યુત્પન્ન cos(x) છે.The derivative of sin(x) with respect to x is cos(x).
8. 1/x dx નું અવિભાજ્ય છે:The integral of 1/x dx is:
- Ax²x²
- Bln|x| + Cln|x| + C
- C1/x² + C1/x² + C
- De^x + Ce^x + C
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (B) ln|x| + Cln|x| + C
1/x dx = ln|x| નું અવિભાજ્ય + C (x ના સંપૂર્ણ મૂલ્યનું કુદરતી લઘુગણક).The integral of 1/x dx = ln|x| + C (natural logarithm of the absolute value of x).
9. sin(x) નું મેકલોરીન શ્રેણી (Maclaurin series) વિસ્તરણ કઈ રીતે શરૂ થાય છે?The Maclaurin series expansion of sin(x) begins as:
- Ax - x³/3! + x⁵/5! - ...x - x³/3! + x⁵/5! - ...
- B1 - x²/2! + x⁴/4! - ...1 - x²/2! + x⁴/4! - ...
- Cx + x³/3! + x⁵/5! + ...x + x³/3! + x⁵/5! + ...
- Dx - x²/2 + x³/3 - ...x - x²/2 + x³/3 - ...
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (A) x - x³/3! + x⁵/5! - ...x - x³/3! + x⁵/5! - ...
sin(x) અયુગ્મ વિધેય હોવાથી તેના વિસ્તરણમાં માત્ર એકી ઘાતો જ આવે છે: x - x³/3! + x⁵/5! - ...The Maclaurin series for the odd function sin(x) contains only odd powers: sin(x) = x - x³/6 + x⁵/120 - ...
10. (sin x)/x ની મર્યાદા જેમ x 0 ની નજીક પહોંચે છે તે છે:The limit of (sin x)/x as x approaches 0 is:
- A00
- B11
- CઅનંતInfinity
- Dઅસ્તિત્વમાં નથીDoes not exist
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (B) 11
lim(x→0) sin(x)/x = 1. આ ગણતરીની મૂળભૂત મર્યાદા છે.lim(x→0) sin(x)/x = 1. This is a fundamental limit in calculus.
Calculus ના વધુ 2 સેટ2 more sets of Calculus
પ્રેક્ટિસમાં દરેક પ્રશ્ન પછી તરત જવાબ મળે છે. ફુલ મોક ટેસ્ટમાં અસલી પરીક્ષા જેવો સમય હોય છે.Practice gives the answer right after each question. Full mock tests time you like the real exam.