રેખીય બીજગણિત: પ્રશ્નો અને જવાબોLinear Algebra: questions and answers
GPSC, GSSSB, તલાટી અને ગુજરાત પોલીસ પરીક્ષા માટે 10 ફ્રી પ્રશ્નો, દરેકનો જવાબ અને ગુજરાતી + English સમજૂતી સાથે.10 free practice questions for GPSC, GSSSB, Talati and Gujarat Police exams, each with the answer and a Gujarati + English explanation.
1. જો A અને B એ બે મેટ્રિક્સ છે જેમ કે AB = BA = I (જ્યાં હું ઓળખ મેટ્રિક્સ છે), તો B ને કહેવામાં આવે છે:If A and B are two matrices such that AB = BA = I (where I is the identity matrix), then B is called the:
- AA નું ટ્રાન્સપોઝTranspose of A
- BA ની બાજુમાંAdjoint of A
- CA નું ઊલટુંInverse of A
- DA નું જોડાણConjugate of A
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (C) A નું ઊલટુંInverse of A
વ્યાખ્યા પ્રમાણે, જો બે ચોરસ મેટ્રિક્સ A અને B નું ઉત્પાદન એ ઓળખ મેટ્રિક્સ I (બંને ક્રમમાં) છે, તો B એ A નું ગુણાકાર વ્યસ્ત છે, જેને A⁻¹ તરીકે સૂચિત કરવામાં આવે છે.By definition, if the product of two square matrices A and B is the identity matrix I (in both orders), then B is the multiplicative inverse of A, denoted as A⁻¹.
2. જો A એ ઓર્થોગોનલ ચોરસ શ્રેણિક હોય, તો તેના નિશ્ચાયક |A| નું મૂલ્ય કેટલું હોવું જોઈએ?If A is an orthogonal square matrix, then its determinant |A| must be equal to:
- A±1±1
- B00
- Cહંમેશા +1Always +1
- Dકોઈપણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાAny non-zero real number
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (A) ±1±1
ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક માટે A A^T = I થાય છે. નિશ્ચાયક લેતા |A|² = 1 મળે છે, જેથી |A| = ±1 થાય છે.For an orthogonal matrix, A A^T = I. Taking determinants, |A| |A^T| = |A|² = |I| = 1, so |A| = ±1.
3. મેટ્રિક્સને "એકવચન" કહેવામાં આવે છે જો તેનો નિર્ણાયક હોય:A matrix is called "singular" if its determinant is:
- A11
- B-1-1
- C00
- Dસકારાત્મકPositive
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (C) 00
એકવચન મેટ્રિક્સમાં શૂન્યનો નિર્ણાયક હોય છે અને તેથી તેની પાસે વ્યસ્ત નથી.A singular matrix has a determinant of zero and therefore does not have an inverse.
4. રેન્ક-નલિટી પ્રમેય (Rank-Nullity Theorem) મુજબ, m × n શ્રેણિક A માટે Rank(A) અને Nullity(A) નો સરવાળો કોના બરાબર થાય છે?According to the Rank-Nullity Theorem, for any linear transformation represented by an m × n matrix A, the sum of Rank(A) and Nullity(A) equals:
- An (સ્તંભની સંખ્યા / ડોમેનનું પરિમાણ)n (Number of columns / dimension of domain)
- Bm (હારની સંખ્યા)m (Number of rows / dimension of codomain)
- Cm × nm × n
- D00
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (A) n (સ્તંભની સંખ્યા / ડોમેનનું પરિમાણ)n (Number of columns / dimension of domain)
રેન્ક-નલિટી પ્રમેય અનુસાર રેન્ક અને નલિટીનો સરવાળો ચલ અથવા સ્તંભની સંખ્યા n બરાબર થાય છે.The Rank-Nullity Theorem states that for matrix A with n columns, Rank(A) + Nullity(A) = n.
5. જેનો નિશ્ચાયક શૂન્યતર (non-zero) હોય તેવા 3 × 3 શ્રેણિકનો ક્રમાંક (Rank) કેટલો હોય?What is the rank of a 3 × 3 matrix whose determinant is non-zero?
- A11
- B22
- C33
- D00
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (C) 33
જો 3 × 3 શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય, તો તે ફુલ રેન્ક ધરાવે છે એટલે કે તેનો રેન્ક 3 થાય છે.If det(A) ≠ 0 for an n × n matrix, the matrix is full rank, hence rank(A) = n = 3.
6. n × n કદના આઇડેન્ટિટી મેટ્રિક્સ Iₙ નો ક્રમાંક (rank) કેટલો હોય છે?The rank of an n × n identity matrix Iₙ is:
- Ann
- B11
- C00
- Dn - 1n - 1
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (A) nn
n × n આઇડેન્ટિટી શ્રેણિકમાં n સ્વતંત્ર હાર અને સ્તંભ હોય છે અને નિશ્ચાયક 1 હોવાથી તેનો રેન્ક n થાય છે.An n × n identity matrix has n linearly independent rows and columns with determinant = 1, hence its rank is n.
7. n અજ્ઞાત ચલ ધરાવતી સમઘાત સમીકરણ પ્રણાલી AX = 0 માટે શૂન્યતર (non-trivial) ઉકેલ ક્યારે જ શક્ય બને છે?A homogeneous system of linear equations AX = 0 with n unknowns has a non-trivial (non-zero) solution if and only if:
- Adet(A) = 0 (અથવા Rank(A) < n)det(A) = 0 (or Rank(A) < n)
- Bdet(A) ≠ 0det(A) ≠ 0
- CRank(A) = nRank(A) = n
- DA એકમ શ્રેણિક હોયA is an identity matrix
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (A) det(A) = 0 (અથવા Rank(A) < n)det(A) = 0 (or Rank(A) < n)
AX = 0 માટે શૂન્ય સિવાયના ઉકેલ ત્યારે જ મળે જ્યારે શ્રેણિક અસામાન્ય (singular) હોય એટલે કે det(A) = 0 થાય.Homogeneous system AX = 0 always has trivial solution X = 0. It has non-trivial solutions if and only if matrix A is singular, meaning det(A) = 0.
8. જો λ એ વ્યસ્ત-સંપન્ન ચોરસ શ્રેણિક A નું શૂન્યતર આઇગન મૂલ્ય હોય, તો તેના વ્યસ્ત શ્રેણિક A⁻¹ નું આઇગન મૂલ્ય શું થશે?If λ is a non-zero eigenvalue of an invertible square matrix A, then an eigenvalue of its inverse matrix A⁻¹ is:
- A1 / λ1 / λ
- B-λ-λ
- Cλ²λ²
- D1 / λ²1 / λ²
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (A) 1 / λ1 / λ
A x = λ x પરથી A⁻¹ x = (1/λ) x મળે છે, જેથી A⁻¹ નું આઇગન મૂલ્ય 1/λ થાય છે.If A x = λ x, multiplying both sides by A⁻¹ yields x = λ A⁻¹ x, which rearranges to A⁻¹ x = (1/λ) x. Thus 1/λ is an eigenvalue of A⁻¹.
9. કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય જણાવે છે કે દરેક ચોરસ શ્રેણિક કોનું સમાધાન કરે છે?The Cayley-Hamilton theorem states that every square matrix satisfies:
- Aતેના પોતાના લાક્ષણિક સમીકરણ (characteristic equation)Its own characteristic equation
- Bલાપ્લાસ ટ્રાન્સફોર્મ સમીકરણThe Laplace transform equation
- Cતેના વ્યસ્ત શ્રેણિક સમીકરણIts inverse matrix equation
- Dટેલર શ્રેણી વિસ્તરણThe Taylor series expansion
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (A) તેના પોતાના લાક્ષણિક સમીકરણ (characteristic equation)Its own characteristic equation
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય અનુસાર જો det(A - λI) = 0 એ A નું લાક્ષણિક બહુપદી સમીકરણ હોય, તો p(A) = 0 થાય છે.The Cayley-Hamilton theorem states that if p(λ) = det(A - λI) = 0 is the characteristic polynomial of square matrix A, then p(A) = 0.
10. 'n' અજ્ઞાત ચલ ધરાવતી અસમઘાત રેખીય સમીકરણ પ્રણાલી AX = B નો અનન્ય ઉકેલ (unique solution) ક્યારે જ શક્ય બને છે?A non-homogeneous system of linear equations AX = B with 'n' unknowns possesses a unique solution if and only if:
- ARank(A) = Rank([A|B]) = nRank(A) = Rank([A|B]) = n
- BRank(A) < Rank([A|B])Rank(A) < Rank([A|B])
- CRank(A) = Rank([A|B]) < nRank(A) = Rank([A|B]) < n
- DRank(A) = 0 અને Rank([A|B]) = nRank(A) = 0 and Rank([A|B]) = n
જવાબ જુઓShow answer
જવાબ:Answer: (A) Rank(A) = Rank([A|B]) = nRank(A) = Rank([A|B]) = n
રૂશ-કેપેલી પ્રમેય મુજબ જ્યારે શ્રેણિક A અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક [A|B] નો રેન્ક ચલની સંખ્યા n બરાબર હોય ત્યારે જ અનન્ય ઉકેલ મળે છે.By Rouche-Capelli theorem, AX = B is consistent if Rank(A) = Rank([A|B]). It has a unique solution if this rank equals the number of variables n.
રેખીય બીજગણિત ના વધુ 2 સેટ2 more sets of Linear Algebra
પ્રેક્ટિસમાં દરેક પ્રશ્ન પછી તરત જવાબ મળે છે. ફુલ મોક ટેસ્ટમાં અસલી પરીક્ષા જેવો સમય હોય છે.Practice gives the answer right after each question. Full mock tests time you like the real exam.